Trong toán học, trực giác là khả năng "thấy" một điều đúng, hoặc thấy hướng đi tới lời giải, trước khi chứng minh được nó. Henri Poincaré kể lời giải một bài toán lớn bật ra đúng lúc ông bước lên xe ngựa; Srinivasa Ramanujan để lại hàng nghìn công thức mà nhiều cái phải mất hàng chục năm người khác mới chứng minh xong. Nhưng chính hai câu chuyện này cũng cho thấy trực giác toán học không đến từ hư không, và không thay thế được chứng minh: Poincaré đã vật lộn với bài toán nhiều ngày trước đó, còn Ramanujan có những công thức sai.
Poincaré và khoảnh khắc trên bậc xe
Henri Poincaré (1854–1912) là một trong những nhà toán học lớn nhất cuối thế kỷ 19. Năm 1908, ông thuyết trình trước Hội Tâm lý học ở Paris về cách các phát minh toán học ra đời. Bài nói về sau được in trong cuốn "Khoa học và Phương pháp" cùng năm, và trở thành một trong những tư liệu được trích dẫn nhiều nhất về trực giác sáng tạo.
Ông kể về thời gian nghiên cứu một lớp hàm mà ông đặt tên là hàm Fuchs. Theo lời ông:
- Làm việc vất vả: suốt khoảng hai tuần, ông ngồi bàn mỗi ngày cố chứng minh rằng không thể có loại hàm như vậy, thử rất nhiều tổ hợp mà không ra kết quả.
- Một đêm mất ngủ: sau khi uống cà phê đặc, ông thao thức, các ý tưởng "va chạm" nhau trong đầu cho tới khi một số cặp kết hợp vững lại. Sáng ra, ông đã xác lập được sự tồn tại của một lớp hàm Fuchs.
- Gác lại để đi xa: ít lâu sau, ông rời Caen tham gia một chuyến khảo sát địa chất, quên hẳn công việc toán học.
- Bừng sáng: tại Coutances, đúng lúc đặt chân lên bậc xe ngựa chở khách, ý tưởng hiện ra: các phép biến đổi ông dùng để định nghĩa hàm Fuchs giống hệt các phép biến đổi của hình học phi Euclid. Ông không kiểm tra ngay mà tiếp tục câu chuyện đang nói dở, nhưng cảm thấy chắc chắn.
- Kiểm chứng: trở về Caen, ông ngồi kiểm tra lại cho yên tâm.
Poincaré nhấn mạnh hai điều mà người đọc hay bỏ qua. Thứ nhất, những khoảnh khắc bừng sáng chỉ đến sau một giai đoạn làm việc có ý thức rất căng, và không có giai đoạn đó thì không có gì để bừng sáng. Thứ hai, trực giác phải được kiểm chứng; ông thừa nhận cảm giác chắc chắn đôi khi đánh lừa.
Bốn giai đoạn sáng tạo và cuộc khảo sát của Hadamard
Năm 1926, nhà nghiên cứu xã hội người Anh Graham Wallas dựa trên những lời kể như của Poincaré để đề xuất bốn giai đoạn của tư duy sáng tạo:
| Giai đoạn | Diễn ra thế nào | Trong câu chuyện Poincaré |
|---|---|---|
| Chuẩn bị | Tìm hiểu, thử nhiều hướng, thường bế tắc | Hai tuần thử các tổ hợp |
| Ấp ủ | Tạm gác vấn đề, làm việc khác | Chuyến khảo sát địa chất |
| Bừng sáng | Ý tưởng đột ngột hiện ra | Khoảnh khắc ở bậc xe |
| Kiểm chứng | Kiểm tra, viết chứng minh chặt chẽ | Ngồi kiểm tra lại ở Caen |
Năm 1945, nhà toán học Pháp Jacques Hadamard xuất bản cuốn "Tâm lý học phát minh trong lĩnh vực toán học", tổng hợp lời kể của nhiều nhà toán học và nhà khoa học. Phần đông mô tả việc suy nghĩ bằng hình ảnh mơ hồ, cảm giác về hình dạng, thậm chí cảm giác cơ thể, chứ không bằng chữ hay ký hiệu. Albert Einstein, trong thư trả lời Hadamard, cũng mô tả suy nghĩ của mình chủ yếu bằng hình ảnh và cảm giác, chữ nghĩa chỉ đến sau.
Cần lưu ý: đây là những lời tự kể, viết lại sau nhiều năm, có thể bị trí nhớ làm đẹp thêm. Chúng gợi ý rất nhiều, nhưng không phải dữ liệu thí nghiệm. Nghiên cứu hiện đại về hiệu ứng ấp ủ đã cho thấy tạm gác vấn đề sáng tạo đúng là có ích, nhưng cơ chế cụ thể vẫn còn bàn cãi.
Ramanujan: công thức đến trước, chứng minh đến sau
Srinivasa Ramanujan (1887–1920) lớn lên ở miền Nam Ấn Độ, gần như tự học toán. Một cuốn sách tham khảo của George Carr, liệt kê hàng nghìn công thức mà hầu như không kèm chứng minh, được cho là đã ảnh hưởng lớn tới cách ông làm toán: ông quen với việc tìm ra kết quả, còn chứng minh là chuyện thứ yếu.
Đầu năm 1913, ông gửi thư cho G. H. Hardy ở Đại học Cambridge, kèm một danh sách dài các định lý. Hardy, sau khi đọc kỹ cùng đồng nghiệp John Littlewood, nhận ra đây là thiên tài. Về sau Hardy viết rằng một số công thức trong thư hẳn phải đúng, vì nếu sai thì không ai đủ trí tưởng tượng để bịa ra chúng. Ramanujan sang Cambridge năm 1914, được bầu vào Hội Hoàng gia Anh năm 1918, về nước năm 1919 và mất năm 1920 khi mới 32 tuổi.
Trực giác của Ramanujan làm việc thế nào
Theo lời bạn bè và người thân kể lại, Ramanujan nói các công thức đến với ông qua nữ thần Namagiri mà gia đình ông thờ phụng. Đó là niềm tin cá nhân của ông và cần được tôn trọng. Về mặt toán học, những gì giới nghiên cứu ghi nhận là:
- Ông tính toán rất nhiều bằng tay, thử vô số ví dụ cụ thể, rồi nhận ra quy luật. Trực giác của ông được nuôi bằng một lượng tính toán khổng lồ.
- Ông ghi kết quả vào sổ tay mà ít khi ghi lý do. Các nhà toán học như George Andrews và Bruce Berndt đã mất nhiều thập kỷ để chứng minh và hiệu đính các sổ tay này. Năm 1976, Andrews tìm thấy một tập ghi chép của Ramanujan trong thư viện Wren của Trường Trinity, Đại học Cambridge, về sau được gọi là "sổ tay thất lạc".
- Một số kết quả của ông sai. Hardy chỉ ra rằng những gì Ramanujan nghĩ về cách đếm số nguyên tố chứa sai lầm, vì đây là lĩnh vực mà trực giác dựa trên tính toán ví dụ dễ đánh lừa.
Con số 1729
Hardy kể lại một lần đến thăm Ramanujan đang ốm, ông nhận xét chiếc taxi mình đi mang số 1729, một con số "nhạt nhẽo". Ramanujan đáp ngay rằng đó là con số rất thú vị: số nhỏ nhất viết được thành tổng hai lập phương theo hai cách khác nhau (1729 = 1³ + 12³ = 9³ + 10³). Câu chuyện cho thấy "trực giác" của ông thực chất là sự thân thuộc sâu sắc với các con số, như người ta thân thuộc với khuôn mặt bạn bè.
Khi trực giác toán học sai
Lịch sử toán học cũng đầy những lần trực giác dẫn sai, kể cả với người giỏi:
- Hàm liên tục mà không có đạo hàm ở đâu cả. Thế kỷ 19, nhiều nhà toán học ngầm tin một đường cong liền nét thì phải "trơn" ở hầu hết các điểm. Năm 1872, Karl Weierstrass công bố một hàm liên tục ở mọi nơi mà không khả vi ở bất kỳ điểm nào, khiến trực giác hình học bị lung lay.
- Đường cong lấp đầy hình vuông. Năm 1890, Giuseppe Peano xây dựng một đường cong đi qua mọi điểm của một hình vuông, trái với cảm giác rằng "đường" thì mỏng hơn "mặt".
- Bài toán ba cánh cửa. Năm 1990, khi một chuyên mục báo Mỹ giải thích rằng người tham gia nên đổi cửa để tăng cơ hội thắng từ một phần ba lên hai phần ba, rất nhiều người đọc, trong đó có người có bằng tiến sĩ, viết thư phản đối. Đáp án đổi cửa là đúng.
Những ví dụ này giải thích vì sao toán học coi trọng chứng minh đến vậy: trực giác là ngọn đèn pha, chứng minh là con đường đã trải nhựa.
Ba giai đoạn của người học toán
Nhà toán học Terence Tao, người nhận huy chương Fields năm 2006, có viết về ba giai đoạn trong việc học toán, có thể diễn đạt lại như sau:
- Trước chặt chẽ: học sinh học toán bằng ví dụ, hình vẽ, cảm giác mơ hồ. Trực giác có nhưng thô và dễ sai.
- Chặt chẽ: người học được rèn để viết chứng minh đúng từng bước, đôi khi thấy như phải "tắt" trực giác đi.
- Sau chặt chẽ: người đã vững lập luận chặt quay lại dùng trực giác, nhưng giờ là trực giác đã được chứng minh rèn giũa, biết khi nào nó đáng tin và khi nào cần kiểm tra.
Ông nhấn mạnh mục tiêu không phải bỏ trực giác, mà là xây lại một trực giác tốt hơn trên nền chặt chẽ.
Thử ngay: nuôi trực giác toán học theo cách của Ramanujan và Poincaré
Với học sinh ôn thi hay người lớn thích toán, vài thói quen sau rút ra từ những câu chuyện trên và từ nghiên cứu về giải quyết vấn đề:
- Thử nhiều ví dụ cụ thể trước khi chứng minh. Gặp bài dãy số, tính năm sáu số hạng đầu. Gặp bài hình học, vẽ hình thật chuẩn bằng thước, compa, thậm chí đo thử. Ramanujan tìm ra quy luật như vậy.
- Đoán trước, rồi kiểm tra. Trước khi giải, ghi ra dự đoán đáp số. Sau khi giải, so lại. Theo thời gian, bạn sẽ biết trực giác mình tốt với dạng bài nào.
- Bế tắc thật sự thì gác lại. Sau khi đã nghĩ nghiêm túc mà không ra, chuyển sang bài khác, đi bộ, ngủ một giấc. Quay lại sau thường thấy hướng mới, đúng như Poincaré mô tả.
- Thử thách trực giác bằng bài toán ngày sinh. Hỏi người xung quanh: lớp có bao nhiêu người thì khả năng có hai người trùng ngày sinh vượt quá một nửa? Phần lớn đoán vài trăm. Đáp án chỉ là 23 người (bỏ qua năm nhuận). Tự tính lại hoặc kiểm tra với danh sách sinh nhật của lớp sẽ thấy trực giác về xác suất kém đến mức nào.
Góc nhìn hôm nay
Câu chuyện của Poincaré và Ramanujan thường được kể như huyền thoại về thiên tài nhận "thiên khải". Đọc kỹ, chúng là câu chuyện về những người đã làm việc với toán học nhiều đến mức trí óc tự nhận ra quy luật, và về sự khiêm tốn trước chứng minh. Người muốn đọc thêm có thể tìm cuốn "Người biết đến vô cùng" (The Man Who Knew Infinity) của Robert Kanigel viết về Ramanujan, cuốn "Lời xin lỗi của một nhà toán học" của Hardy, và bài thuyết trình năm 1908 của Poincaré trong "Khoa học và Phương pháp".
Câu hỏi thường gặp
Trực giác toán học là gì?
Trực giác toán học là khả năng cảm nhận một mệnh đề có lẽ đúng hoặc thấy hướng giải trước khi chứng minh được. Nó hình thành từ việc làm rất nhiều ví dụ và bài toán, giúp nhận ra quy luật nhanh. Tuy vậy, trực giác vẫn phải được kiểm chứng bằng chứng minh chặt chẽ.
Câu chuyện Poincaré bước lên xe ngựa là gì?
Trong bài thuyết trình năm 1908, Henri Poincaré kể rằng sau nhiều ngày vật lộn với một bài toán về hàm Fuchs rồi gác lại để đi khảo sát địa chất, ý tưởng then chốt bất ngờ hiện ra đúng lúc ông bước lên bậc xe ngựa ở Coutances. Ông nhấn mạnh khoảnh khắc ấy chỉ đến sau thời gian làm việc căng thẳng và vẫn cần kiểm tra lại.
Ramanujan là ai?
Srinivasa Ramanujan (1887–1920) là nhà toán học Ấn Độ gần như tự học, nổi tiếng với hàng nghìn công thức tìm ra bằng trực giác và tính toán. Ông làm việc với G. H. Hardy tại Cambridge từ năm 1914 và mất khi mới 32 tuổi. Nhiều kết quả của ông phải mất hàng chục năm người khác mới chứng minh xong.
Vì sao 1729 là số Hardy–Ramanujan?
1729 là số nhỏ nhất viết được thành tổng hai lập phương theo hai cách khác nhau: 1³ + 12³ và 9³ + 10³. Tên gọi xuất phát từ giai thoại Hardy đi taxi mang số này tới thăm Ramanujan, chê số nhạt nhẽo, và Ramanujan lập tức chỉ ra tính chất thú vị của nó.
Trực giác có thể sai trong toán học không?
Có, và lịch sử có nhiều ví dụ, như hàm liên tục không khả vi ở đâu của Weierstrass hay bài toán ba cánh cửa trong xác suất. Chính Ramanujan cũng có những kết quả sai về số nguyên tố. Đây là lý do toán học đòi hỏi chứng minh chặt chẽ cho mọi khẳng định.
